sOaL-SoAl lInGkArAn

1. Persamaan lingkaran yang melalui titik A(1, 2), B(2, 1) dan C(1, 0) adalah ….
1. x² + y² + 4x – 4y + 1 = 0
2. x² + y² + x + y + 1 = 0
3. x² + y² – 2x – 2y + 1 = 0
4. x² + y² – x – y + 1 = 0
5. x² + y² + 2x + 2y + 1 = 0
2. Persamaan lingkaran yang melalui titik A(4, 3) dan B(-2, 5) serta pusat lingkaran pada garis 3x + 2y – 11 = 0 adalah ….
1. x² + y² – 2x – 8y + 11 = 0
2. x² + y² – 2x – 8y + 7 = 0
3. x² + y² + 2x + 8x – 11 = 0
4. x² + y² + 2x – 8y + 7 = 0
5. x² + y² + 2x + 8y + 11 = 0
3. Agar lingkaran x² + y² – 6x + 8y – p = 0 menyinggung garis 3x – 4y = 0, maka nilai p adalah ….

a. 0 d. 18

b. 9 e. 25

c. 11

4. Tempat kedudukan titik M terhadap titik P(2, -1) dan Q(6, 2) sehingga = 2 adalah lingkaran yang berpusat di titik ….

a. (12, -3) d. (10, 5)

b. (-12, 3) e. (-10, -5)

c. (8, 5)

5. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0 pada titik (5, 1) adalah ….
1. 3x – 4y + 19 = 0
2. 3x + y – 19 = 0 d. 3x + 4y – 19 = 0
3. 3x – 4y – 19 = 0 e. 3x + 4y + 19 = 0
6. Diketahui lingkaran x² + y² – 2px + q = 0 berjari-jari 2, garis x – y = 0 akan menyinggung lingkaran tersebut bila nilai p yang positif sama dengan ….

a. b. 4 c. d. 8 e.

7. Garis singgung lingkaran x² + y² = 13 di titik (2, 3) menyinggung lingkaran (x – 7)² + (y – 4)² = p. Nilai p = ….

a. b. d. 12 c. 5 e. 13

8. Diketahui lingkaran x² + y² – 4x + 2y + c = 0 melalui titik A(5, -1). Jari-jari lingkaran tersebut adalah …

a. 3 d.

b. 4 e.

c. 9

9. Jarak antara titik pusat lingkaran x² – 4x + y² + 4 = 0 dari sumbu Y adalah ….

a. 3 d. 1,5

b. 2,5 e.

c. 2

10. Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0, 2) pada lingkaran x² + y² = 1 adalah
1. y = x – 2 d. y = – x – 2
2. y = x + 1 e. y = – x + 2
3. y = – x + 1
11. Jika lingkaran x² + y² + 2px + 10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu X. maka pusat lingkaran tersebut adalah ….

a. (-5, – 3) d. (-6, 5)

b. (-5, 3) e. (3, -5)

c. (6, -5)

12. Pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan 3x² + 3y² – 12x + 6y – 12 = 0 berturut-turut adalah ….

a. (2, 1) dan 3 d. (2, 1) dan 4

b. (-2, 1) dan 3 e. (-2, 1) dan 4

c. (2, -1) dan 3

13. Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 20x + 16y + 139 =0 di titik (6, -5) adalah ….
1. 4x + 3y + 39 = 0
2. 4x + 3y – 39 = 0 d. 4x – 3y + 39 = 0
3. 4x – 3y – 39 = 0 e. 3x + 4y – 39 = 0
14. Persamaan garis singgung melelui titik (0, 5) pada lingkaran x² + y² = 20 adalah ….
1. 2x + y = 10 dan -2x + y = 10
2. x + 2y = 10 dan x – 2y = -10
3. x + 2y = 10 dan x – 2y = 10
4. 2x + y = -10 dan 2x – y = 10
5. x + 2y = -10 dan x – 2y = -10
15. Jika lingkaran x² + y² + 4x + ky – 12 = 0 melalui titik (-2, 8). Jari-jari lingkaran tersebut adalah ….

a. 1 d. 12

b. 5 e. 25

c. 6

16. Lingkaran x² + y² + 2x + 2py + 9 = 0 mempunyai jari-jari dan menyinggung sumbu Y. Pusat lingkaran tersebut adalah ….

a. (-3, -1) d. (-1, 6)

b. (3, -1) e. (-1, 3)

c. (-1, -6)

17. Garis singgung lingkaran x² + y² = 25 di titik (-3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat (10, 5) dan jari-jari r. Nilai r = …

a. 3 d. 9

b. 5 e. 11

c. 7

18. Persamaan lingkaran yang berpusat di O dan melalui titik (3, 2) adalah ….
1. x² + y² = 2 d. x² + y² = 11
2. x² + y² = 3 e. x² + y² = 13
3. x² + y² = 7
19. Jari-jari lingkaran dengan persamaan 2x² + 2y² = 36 adalah ….

a. d. 18

b. 6 e. 36

c.

20. Persamaan lingkaran dengan pusat (2, -3) dan jari-jari 4 adalah ….
1. x² + y² – 4x + 6x + 3 = 0
2. x² + y² – 4x + 6x – 3 = 0
3. x² + y² – 4x + 6x + 25 = 0
4. x² + y² – 4x + 6x – 25 = 0
5. x² + y² – 4x + 6x + 16 = 0

SET 10 : LINGKARAN 2

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di (2, 8) dan menyinggung garis x – 7 = 0 adalah …

1. x² + y² – 4x – 16y – 25 = 0

2. x² + y² + 4x – 16y – 25 = 0
3. x² + y² – 4x – 16y + 43 = 0
4. x² + y² + 4x – 16y – 43 = 0
5. x² + y² – 4x + 16y + 43 = 0

2. Lingkaran x² + y² – 2ax + 6y + 49 = 0 menyinggung sumbu X untuk a = …

a. -7 d. 3

b. -3 e. 7

c. 2

3. Pusat lingkaran 3x² + 3y² – 4x + 6y – 12 = 0 adalah …

a. (2, 1) d.

b. (2, -3) e.

c. (-2, 3)

4. Persamaan lingkaran berpusat di (2, 3) yang melalui (5, -1) adalah …

1. x² + y² – 4x – 6y – 12 = 0

2. x² + y² – 4x – 6y – 25 = 0
3. x² + y² – 4x – 6y – 13 = 0
4. x² + y² – 2x – 3y – 10 = 0
5. x² + y² + 2x + 2y + 25 = 0

5. Persamaan lingakaran yang berpusat di (-4, 7) dan berjari-jari 6 adalah …

1. x² + y² – 8x – 14y – 36 = 0
2. x² + y² – 8x + 14y – 36 = 0
3. x² + y² + 8x – 14y – 36 = 0
4. x² + y² – 8x – 14y – 29 = 0
5. x² + y² + 8x – 14y + 29 = 0

6. Lingkaran (x – a)² + (y – b)² = 81 akan menyinggung sumbu X jika …

a. a = 81 d. a = 9 atau a = -9

b. b = 81 e. b = 9 atau b = -9

c. a = 9

7. Jari-jari lingkaran x² + y² – 4x + 6y + 12 = 0 adalah …

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

8. Lingkaran x² + y² + 4x + 6y – (8 + b) = 0 memiliki jari-jari 5, maka nilai b adalah …

a. 1 d. 4

b. 2 e. 5

c. 3

9. Persamaan garis singgung di titik (-3, 4) pada lingkaran x² + y² = 25 adalah …

1. 3y – 4x + 25 = 0

2. 3y + 4x – 25 = 0 d. 4y + 3x – 25 = 0
3. 4y – 3x + 25 = 0 e. 4y – 3x – 25 = 0

10. Persamaan garis singgung melalui (5, 1) pada lingkaran x² + y² – 4 x + 6y – 12 = 0 adalah …

1. 3x + 4y – 19 = 0
2. 3x – 4y – 19 = 0 d. 4x – 3y + 19 = 0
3. x + 7y – 26 = 0 e. x – 7y – 26 = 0

11. Jarak terdekat antara titik (-7, 2) ke lingkaran x² + y² – 10x – 14y – 151 = 0 adalah …

a. 2 d. 8

b. 3 e. 13

c. 4

12. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x² + y² +2x – 5y – 21 = 0, maka nilai k adalah …

a. -1 atau -2 d. 0 atau 3

b. 2 atau 4 e. 1 atau -6

c. -1 atau 6

13. Persamaan lingkaran dengan pusat di (-2, 3) dan menyinggung sumbu Y adalah …

1. x² + y² + 4x – 6y + 9 = 0

2. x² + y² + 4x – 6y – 9 = 0
3. x² + y² – 4x + 6y + 9 = 0
4. x² + y² – 4x – 6y + 9 = 0
5. x² + y² – 4x – 6y – 9 = 0

14. Lingkaran x² + y² + 4x – 6y + c = 0 melalui titik (-5, 7). Jari-jari lingkaran adalah …

a. d. 4

b. 3 e. 5

c.

15. Persamaan garis yang sejajar dengan garis x – 2y = 10 dan membagi lingkaran x² + y² + 4x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama adalah…

1. x – 2y + 2 = 0

2. x – 2y – 2 = 0 d. x + 2y + 2 = 0
3. x + 2y – 2 = 0 e. x – y + 2 = 0

16. Garis singgung lingkaran x² + y² = 13 dititik (2, 3) menyinggung lingkaran (x – 7)² + (y – 4)² = a. Nilai a adalah …

a. b. c. 5d. 12e. 13

17. Garis lurus yang di tarik dari titik O(0, 0) dan menyinggung lingkaran dengan persamaan x² + y² +8x – 4y + 2 = 0 ada 2 buah. Gradien dari kedua garis singgung adalah …

a. -1 atau 7 d. 1 atau -7

b. -1 atau -7 e. 1 atau ¹/₇

c. 1 atau 7

18. Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran x² + y² – 2x + 4y – 4 = 0 yang sejajar dengan garis 5x – 12y + 15 = 0 adalah …

1. 5x – 12y + 10 = 0

2. 5x – 12y – 10 = 0 d. 5x + 12y + 10 = 0
3. 5x + 12y – 10 = 0 e. 5x – 12y + 68 = 0

19. Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 9 cm dan 3 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 20 cm. maka panjang garis singgung persekutuan dalam dari kedua lingkaran tersebut adalah …

a. 12 cm d. 18 cm

b. 14 cm e. 20 cm

c. 16 cm

20. Diketahui dua lingkaran dengan jari-jari 11 cm dan 4 cm. Jika jarak kedua pusat lingkaran tersebut adalah 25 cm. maka panjang garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran tersebut adalah …

a. 22 cm d. 28 cm

b. 24 cm e. 30 cm

c. 26 cm

RiNgKaSaN MaTeMaTiKa XI iPa SmA

Rangkuman Matematika SMA Kelas 2

1. Statistika

1.1. Ukuran Pemusatan Data

§ Mean

Contoh: Tentukan mean dari data berikut:

Data	Frekuensi (fi)	Titik tengah (xi)	fi . xi
1 – 3	4	2	8
4 – 6	7	5	35
7 – 9	8	8	64
10 – 12	3	11	33
13 – 15	5	14	70
	27		210

Jadi rata-rata (mean) = 210:27 = 7,77

§ Median

Data	Frekuensi (fi)
1 – 3	4
4 – 6	7
7 – 9	8
10 – 12	3
13 – 15	5
	27

à kelas median
Tb = 6,5; n=27; f=8; Sf _sebelum = 11; c=3

Me = Tb + (1/2 x n - Sf_sebelum) x c

f_median

Me = 6,5 + (^2,5/₈) x 3

Me = 6,5 + 0,94

Me = 7,44

§ Modus

Data	Frekuensi (fi)
1 – 3	4
4 – 6	7
7 – 9	8
10 – 12	3
13 – 15	5
	27

à kelas modus

Tb=6,5; f1=1; f2=5; c=3

Mo = Tb + (^f1/_f1+f2) x c

Mo = 6,5 + 0,49

Mo = 6,99

1.2. Ukuran Penyebaran Data

§ Range

Contoh: Tentukan range dari: 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab:

R = 10 – 4 =6

§ Simpangan Kuartil (Qd)

Contoh: Tentukan Qd dari: 2, 3, 4, 6, 6, 8, 8, 8, 10, 10, 10

Jawab: n=11

Q1 = ⁿ⁺¹/₄ = 3 (Data: 4)

Q3 = ³⁽ⁿ⁺¹⁾/₄ = 9 (Data: 10)

Qd = ½ (Q3 – Q1) = ½ x 6 =3

§ Simpangan Rata-rata (SR)

Contoh: Tentukan SR dari 2, 4, 6, 8, 10, 12

Jawab: rata-rata = 7

SR = (2-7)+(4-7)+(6-7)+(8-7)+(10-7)+(12-7) = 0

7

§ Simpangan Baku (S)

Contoh: hitunglah simpangan baku dari 1, 2, 3, 4, 5

Jawab: rata-rata = 3

S = √^{(1-3)2 + (2-3)2 + (3-3)2 + (4-3)2 + (5-3)2} = 1

¹⁰

2. Peluang

2.1. Faktorial

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.2. Permutasi

Contoh: Berapa banyak macam susunan huruf pada kata “DADU”?

₄P₄ = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

2.3. Kombinasi

Contoh: Ada berapa cara 2 orang dipilih dari 10 orang untuk bergabung dalam lomba?

Jawab:

₁₀C₂ = 10! = 45

2! x 8!

2.4. Peluang

Contoh: Berapa peluang kejadian muncul bilangan genap pada pelemparan dadu?

Jawab:

P(A) = n(A) = 3 = ½

N(S) 6

2.5. Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Contoh: Dua buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 1 kali. Tentukan peluang kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu itu sama dengan 4 atau 5.

Jawab:

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 4 (1,3; 2,2; 3,1)

P(A) = ³/₃₆ = ¹/₁₂

Kejadian munculnya jumlah angka kedua dadu = 5 (1,4; 2,3; 3,2; 4,1)

P(B) = ⁴/₃₆ = ¹/₉

Jadi P(A È B) = P(A) + P(B) = ³/₃₆ + ⁴/₃₆ = ⁷/₃₆

2.6. Peluang Kejadian yang Saling Bebas

Contoh: Dua buah dadu dilempar sekali, tentukan peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama dan mata dadu 6 pada mata dadu kedua!

P(A) = P(2) = ¹/₆

P(B) = P(6) = ¹/₆

P(A Ç B) = P(A) x P(B) = ¹/₆ x ¹/₆ = ¹/₃₆

3. Persamaan Lingkaran

3.1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (0,0)

Rumus: x² + y² = r²

Persamaan lingkaran yang berjari-jari 4 cm dan berpusat di (0,0) adalah:

x² + y² = 16.

3.2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a,b)

Rumus: (x-a)² + (y-b)² = r²

Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (5,6) dan berjari-jari 4.

Jawab: (x-5)² + (y-6)² = 16

3.3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

x² + y² + Ax + By + C = 0

Pusat lingkaran = (- ½ A, - ½ B)

Jari-jari = √(- ½ A)² + (- ½ B)² – C

Contoh:

Diketahui persamaan lingkaran: x² + y² + 2x + 4y – 6 = 0, tentukan pusat dan

jari-jari lingkaran.

Jawab:

Pusat Lingkaran= (- ½ .2, - ½ .4) = (-1, -2)

Jari-jari= Ö1 + 4 – (-6) = Ö11 = 3,33

3.4. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x² + y² + 2x + 4y – 8 = 0 jika titik singgungnya (3,6)

Jawab:

x1.x + y1.y + ½ A (x + x1) + ½ B (y + y1) + C = 0

3x + 6y + 1.(x + 3) + 2.(y + 6) – 8 = 0

3x + 6y + x + 3 + 2y + 12 -8 = 0

4x + 8y + 7 = 0

4. Trigonometri

Trigonometri adalah nilai perbandingan yang dapat didefinisikan pada koordinat Carteris atau pada segitiga siku-siku.

Sudut istimewa:

a	00	300	450	600	900	1200	1350	1500	1800
Sin a	0	½	½ √2	½ √3	1	½ √3	½ √2	½	0
cos a	1	½ √3	½ √2	½	0	-½	-½ √2	-½ √3	-1
tan a	0	1/3 √3	1	√3	∞	-√3	-1	-1/3 √3	0

a	2100	2250	2400	2700	3000	3150	3300	360
sin a	-½	-½ √2	-½ √3	-1	-½ √3	-½ √2	-½	0
cos a	-½ √3	-½ √2	-½	0	½	½ √2	½ √3	1
tan a	1/3 √3	1	√3	∞	-√3	-1	-1/3 √3	0

Rumus-rumus identitas Trigonometri:

tan a = sin a

cos a

sin²a + cos²a = 1

cot a = cos a

sin a

sec a = 1

cosa

tan² a + 1 = sec²a

cot a + 1 = cosec²a

cosec a = 1

sin a

Rumus Penjumlahan pada Trigonometri:

sin a + sin b = 2 sin ½ (a + b) cos ½ (a - b)

sin a - sin b = 2 cos ½ (a + b) sin ½ (a - b)

cos a + cos b = 2 cos ½ (a + b) cos ½ (a - b)

cos a - cos b = -2 sin ½ (a + b) sin ½ (a - b)

Rumus Perkalian pada Trigonometri:

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)

2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)

2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)

-2 sin a cos b = cos (a + b) - cos (a - b)

5. Suku Banyak

5.1. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Suku Banyak

Contoh: diketahui f(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 dan g(x) = x² + 3x – 3.

Jawab:

f(x) + g(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 + (x² + 3x – 3) = x³ + 4x² + 8x + 4

f(x) - g(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 – (x² + 3x – 3) = x² + 2x² + 2x + 10

f(x) . g(x) = x³ + 3x² + 5x + 7 . (x² + 3x – 3) = x⁵ + 3x⁴ – 3x³ + 3x⁴ 9x³ – 9x² +

5x³ + 15x² – 15x + 7x² + 21x – 21 = x⁵ + 6x⁴ + 11x³ + 13x² + 6x - 21

5.2. Teorema Sisa

Contoh: Tentukan sisa dari pembagian x⁴ – 4x³ + 2x² + 6x – 6 dengan (x-3).

Jawab:

x-3 à x=3; dan k=3

S = f(k) = k⁴ – 4k³ + 2k² + 6k – 6

S = f(3) = 3⁴ – 4(3)³ + 2(3)² + 6.3 – 6

= 81 – 108 + 18 + 18 – 6

= 3

5.3. Teorema Faktor

Contoh: Tentukan sisa dari pembagian 4x³ + 2x² + 6x – 6 dengan (x-3) (x+1).

Jawab: x1 = 3; x2 = -1

Untuk x1 = 3, maka: 4(3)³ + 2(3)² + 6(3) – 6 = 108 + 18 + 18 – 6 = 138

Untuk x2 = -1, maka: 4(-1)³ + 2(-1)² + 6(-1) – 6 = -4 + 2 – 6 – 6 = -14

S(x) = (x-x1) . f(x2) + (x-x2) . f(x1)

(x2-x1) (x1-x2)

= (x-3) . -14 + (x+1) . 138

-4 4

= 139x +121

4

6. Fungsi, Komposisi dan Fungsi Invers

6.1. Fungsi

Contoh: Diketahui f:R à R dengan f(x) = x² + 2x + 2

Tentukan: f(5) dan f(x+1)

Jawab:

f(5) = 25 + 10 + 2 = 37

f(x+1) = (x+1)² + 2(x+1) + 2 = x² + 2x + 1 + 2x + 2 + 2 = x² + 4x + 5

6.2. Komposisi

Contoh: Fungsi f:R à R dan g:R à R dengan f(x) = x² + 2 dan g(x) = x + 3.

Tentukan g.f(x) dan f.g(x).

g.f(x) = g (f(x)) = g (x² + 2) = (x² + 2) + 3 = x² + 5

f.g(x) = f (g(x)) = f (x + 3) = (x + 3)² + 2 = x² + 6x + 11

6.3. Fungsi Invers

Jika y = f(x) maka x = f ^-1 (y)

Fungsi awal	Fungsi Invers
f(x) = ax + b	f -1 (x) = x – b a
f(x) = ax + b cx + d	f -1 (x) = -dx + b cx – a
f(x) = ax2 + bx + c	f -1 (x) = -b + Öb2 – 4a (c-x) 2a
f(x) = acx	f -1 (x) = 1/c. alog x
f(x) = alog cx	f -1 (x) = 1/c. ax

7. Limit

7.1. Limit Fungsi Aljabar

Contoh: lim 2x² – 2x = 2x (x -1) = 2x = 2.1 = 2

^x®1 x – 1 (x – 1)

7.2. Limit Fungsi Trigonometri

lim sin x = 1 x®1 x

lim x = 1 x®1 sin x

lim x = 1 x®1 tan x

lim tan x = 1 x®1 x

lim sin ax = a x®0 bx b

lim ax = a x®0 sin bx b

lim sin ax = a x®0 sin bx b

lim tan ax = a x®0 bx b

lim sin ax = a x®0 tan bx b

lim tan ax = a x®0 tan bx b

lim tan ax = a x®0 sin bx b